EJE 1

Conjuntos numéricos. Expresiones algebraicas. Ecuaciones y desigualdades

 

En este primer tramo repasamos los números reales, ecuaciones y propiedades básicas. Es probable que el lector ya se encuentre familiarizado con estos conceptos, pero es útil ver de nuevo cómo funcionan estas ideas para resolver problemas y modelar (o describir) situaciones prácticas. También se aborda un breve repaso de las desigualdades y del valor absoluto.

Contenidos del Módulo 1

  • Números Reales: Propiedades de los números reales. Adición y sustracción. Multiplicación y división. La recta de números reales. Conjuntos e intervalos. Valor absoluto y distancia.
  • Exponentes y radicales: Exponentes enteros (negativos y positivos). Reglas para trabajar con exponentes. Radicales. Exponentes racionales. Racionalización del denominador

Contenidos del Módulo 2

  • Expresiones algebraicas: Suma y resta de polinomios. Multiplicación de expresiones algebraicas. Fórmulas de productos notables. Factorización de factores comunes. Factorización de trinomios. Fórmulas especiales de factorización. Factorización por agrupación de términos.
  • Expresiones racionales: Dominio de una expresión algebraica. Simplificación de expresiones racionales Multiplicación y división de expresiones racionales. Suma y resta de expresiones racionales Fracciones compuestas. Racionalización del denominador o el numerador. Evitar errores comunes.

Contenidos del Módulo 3

  • Ecuaciones: Solución de ecuaciones lineales. Solución de ecuaciones cuadráticas. Modelado.
  • Desigualdades: Resolución de desigualdades lineales. Resolución de desigualdades no lineales. Desigualdades con valor absoluto. Modelado con desigualdades.

ACTIVIDADES

A través de distintas actividades conocerás cómo el lenguaje y los contenidos matemáticos se emplean para comprender situaciones en distintos contextos.

ACTIVIDAD 1 | EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las expresiones algebraicas son representaciones del lenguaje matemático simbólico y  modelan situaciones reales de distintos contextos. El trabajo con estas expresiones te resultará más sencillo si piensas en su significado geométrico, como te muestra el ejemplo:

X                                             X2                                                 X3   

X representa una medida de longitud (lineal)

X2  representa el área de un cuadrado  cuyo lado mide X unidades.

X3 representa el volumen de un cubo cuya arista mide X unidades.

Pensando en el significado de cada expresión:  ¿Tiene sentido determinar la suma de:  X + X2 +  X3 ?

 

ACTIVIDAD 2 | Infografías y Lenguaje matemático

De todos los lenguajes que se han creado a lo largo de la historia, el matemático, a través de sus expresiones coloquiales, gráficas o simbólicas, es el que cuenta con los significados más precisos para comprender el mundo en el que habitamos.
Por esta razón es que las ciencias y en general la información que circula día a día por distintos medios, “hablan” en lenguaje matemático para expresar ideas o teorías. Por tal motivo hoy en día se considera que “La matemática es el lenguaje de la ciencia, y la comunicación”

Actividad
¿Podés leer información expresada en lenguaje matemático? ¿Podés reconocer distintos tipos de números reales?

En nuestras acciones diarias necesitamos de los números: ¿cuántos años tenés?, ¿cuánto cuesta un helado?, ¿cuál es tu número de teléfono?, ¿qué colectivo te tomás? Asimismo se emplean los números para expresar información como la que te presentamos en los siguientes contextos…

I. Leé la siguiente info…

Neil Armstrong, el astronauta que marcara un logro legendario en la exploración con “un pequeño paso” desde el módulo lunar del Apollo 11 el 20 de julio de 1969, convirtiéndose en la primera persona en caminar sobre la luna, murió el sábado 25 de agosto en la cercanía de Cincinnati. Tenía 82 años. Su familia anunció la muerte a través de un comunicado y la atribuyó a “complicaciones derivadas de procedimientos cardiovasculares”.

Un ingeniero y piloto de pruebas taciturno que nunca estuvo a gusto con su fama, Armstrong fue uno de los estadounidenses más reverenciado de carrera espacial de la Guerra Fría en la década de los 60. Es famoso por su frase: “Éste es un pequeño paso para un hombre, pero un gran salto para la humanidad”, al pisar la superficie lunar, una cita indeleble transmitida a una audiencia mundial de cientos de millones de persona. “Houston: el águila ha llegado”, dijo el hombre con apellido de trompetista. Y así, como de un plumazo, borro infinidad de fantasías. el viaje a la Luna, que hasta ese momento había sido asunto de enamorados, novelistas y poetas se transformó en el tema preferido de técnicos y científicos. la Luna estaba allí nomás bajo los pies de Neil Armstrong. Ese día el 20 de julio de 1969, quinientos millones de personas observaron en sus televisores la trasmisión de la hazaña más importante del siglo. Se emocionaron con cada saltito de Neil Armstrong y Edwin “Buzz” Aldrin sobre la superficie lunar y cruzaron los dedos para que Michael Collins -que se mantenía orbitando y tenía la responsabilidad de llevar a casa a sus compañeros- hiciera todo bien.

Infografía png

Seguramente vos no habías nacido cuando se realizó este viaje. Sin embargo es posible rememorar el evento a través de imágenes de archivo…

II. Respondé…

1 | Ahora bien, la infografía brinda información utilizando los lenguajes de la matemática:

Lenguaje Coloquial

Palabras que explican (quinientos millones de personas lo vieron)

Lenguaje Gráfico

→ utilizando figuras de análisis

→ Gráficos estadísticos

 

Indicar qué otras informaciones de la nota está expresado sólo en el lenguaje:

  • Coloquial:
  • Gráfico:

2 | ¿Hay informaciones de la infografía que combinan dos o más lenguajes? Indicá cuáles si es que tu respuesta es afirmativa.

3 | Pero, fundamentalmente, este viaje está caracterizado por números.

Te pedimos que busques en toda la información brindada, números que se utilizaron para representar:

  • Cantidades:
  • Un comienzo:
  • El sentido contrario al comienzo establecido:
  • Decimales:
  • Parte de algo:
  • Porcentajes:

4 | Relacioná cada uno de los ítems del punto 3) con el correspondiente de la siguiente lista…

  • Números naturales o enteros positivos
  • Números negativos
  • Cero
  • Números fraccionarios
  • Números reales

El objetivo de la siguiente actividad es reconocer los números racionales e irracionales,  en el contexto  la música.  Asociar la repetición de notas  a  las cifras  periódicas en un racional  y la no repetición de notas a las cifras decimales no periódicas de los irracionales.

Número PI

Este número irracional, que pertenece a los números reales y cuyo valor aproximado es  3,1415926535897932384…, aparece en el papiro Rhind hace 4.000 años, época del escriba egipcio Ahmes.

EL 14 de marzo (3.14 – sistema estadounidense) se celebra mundialmente el Día de Pi. En 1988, el físico Larry Shaw, quien trabajaba en el Museo de Exploración de San Francisco (EEUU) tuvo la ocurrencia de fundar esta celebración. Para celebrar el día del número Pi, el músico David McDonald compuso la siguiente obra musical, donde la melodía representa las cifras del número Pi con una aproximación de 122 cifras decimales.

Como notarás en el trabajo del músico David McDonald, se asocia cada nota a un dígito y luego se ejecutan siguiendo los dígitos del número elegido, en este caso el Número Pi.

¿Te animás a tocar en el piano o cualquier otro instrumento el número racional periódico 3,456456456456…? Y ahora el Número Pi! Para hacerlo te proponemos que emplees instrumentos virtuales, como por ejemplo este simulador de piano virtual.

Observá la diferencia musical, en cuanto a la repetición de notas, entre un número y otro.

Uno de los números irracionales más conocidos, representa la relación entre una circunferencia y su diámetro.  En toda circunferencia la medida de su longitud es π veces la medida de su diámetro.

Además de Pi, hay otro número muy interesante, también irracional, llamado Número Fi o Número de oro.

Está presente de diferentes maneras en la naturaleza, la arquitectura, el diseño gráfico y de objetos, obras de artistas plásticos, construcciones antiguas como las pirámides y templos, en nuestro cuerpo y en el de algunos animales. Todas las construcciones basadas en mediciones donde se involucra al Número de oro se denominan construcciones con proporciones áureas o armónicas. Muchos productos actuales están construidos con las proporciones áureas, como las tarjetas de crédito o la SUBE.

Te lo presentamos…

Te proponemos los siguientes videos para que lo conozcas un poco más. El primero es el Número de oro presentado por el Pato Donald, una animación de Disney creada con fines didácticos para una población muy específica. El segundo es una simulación del desarrollo del Número de oro, desde su construcción numérica hasta su materialización en objetos de la naturaleza y nuestro contexto.

ACTIVIDAD 3 | OPERACIONES CON NÚMEROS EN DISTINTOS CONTEXTOS

En distintas situaciones necesitamos operar con números. ¿Cuánto me saldrían tres pasajes de colectivo? ¿Cuántos Km faltan para llegar a Santa Fe? ¿Cuánto dinero tengo que pagar, si entre tres amigos compramos una pizza y una gaseosa? Para simplificar y hacer más rápido los cálculos, en cada una de las operaciones podemos usar propiedades de dichas operaciones como la propiedad conmutativa, distributiva o elemento neutro, entre otras, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Para calcular  83 + 77  podemos usar propiedades y resolverla de una manera más rápida:

83 + 77 = 80 + 3 + 70 + 7 = (80 + 70) + (3 + 7) = 150 + 10 = 160

En otro ejemplo, para resolver 133 : 5 podemos utilizar propiedades y realizar lo siguiente:

133 : 5 = (133 . 2) : 10 = 266 : 10 = 26,6

Vemos que es más sencillo el cálculo, ya que es mucho más fácil buscar el doble y luego dividir por 10.

En este orden de razonamientos que venimos haciendo, te proponemos a continuación que realices las siguientes actividades, inscriptas en distintos contextos.

En la actualidad son frecuentes las comunicaciones a través de medios digitales, desde las conversaciones por redes sociales hasta las transacciones comerciales efectuadas tanto al comprar un producto por Internet (que requiere introducir datos privados como el número de una tarjeta de crédito), o realizar operaciones bancarias. Ante esta situación nos preguntamos ¿es seguro introducir información privada en medios digitales?

La Criptografía es la ciencia que se encarga de diseñar métodos para mantener la confidencialidad de los datos y otorgar seguridad a la información que es enviada por un medio aparentemente inseguro. Para esto la criptografía emplea algoritmos de cifrado o encriptado con una clave que permite que el emisor de un mensaje pueda estar seguro que éste sea confidencial, y sólo el receptor autorizado pueda saber el contenido aplicando un proceso de método de descifrado o desencriptado con su respectiva clave.

Al realizar la siguiente actividad aprenderás a encriptar (ocultar) y desencriptar mensajes a través de operaciones numéricas. Es fundamental que sepas realizar operaciones con números reales para poder realizar la actividad.

I. Para comenzar a tener un panorama más amplio sobre la criptografía, te recomendamos que mires el siguiente video.

II. Comprobá tu comprensión sobre la información del video, realizando un encriptado y desencriptado de mensajes mediante la siguiente simulación que aporta este enlace:

III. Para concluir, ocultaremos y descubriremos mensajes secretos realizando operaciones numéricas.

Un mago en un show, dice que puede predecir una suma entre cinco números naturales de cinco cifras porque es vidente y sabe los números que vendrán apenas un participante del show escriba el primer número.

Pasa un participante y escribe tres de los números que intervienen en la suma y el mago dos.  Y el mago adivinó!  ¿Cómo puede ser esto?

Obviamente es un truco matemático!  Mirá el siguiente video que te lo explica y luego intentá hacer el mismo truco a otra persona.

Analicemos por qué una persona no juega todas las posibilidades del Quini 6 para poder ganar sí o sí.

ACTIVIDAD 4

¿Qué matemática comparten los terremotos, las discotecas, el pH y las estrellas? Encontrarás la respuesta analizando la información que aporta el siguiente video.

ACTIVIDAD 5

Te proponemos que mires el siguiente video para ampliar información

Actividad 6

Realizá la actividad propuesta en la siguiente simulación de Geogebra

 

Actividad 7

 

¿Es cierto que  (a+b) 2 = a2 + b2     y   (a+b) 3 = a3 + b?

Analizando los siguientes videos encontrarás la respuesta

Actividad 8

Jugar y aprender. Ingresá a la siguiente propuesta para realizar en el entorno Geogebra

 

Actividad 9

 

Fortalecé tu comprensión  analizando los conceptos y resolviendo las actividades propuestas en KHANACADEMY