Matemática Matemática

EJE 1

Conjuntos numéricos. Expresiones algebraicas. Ecuaciones y desigualdades

En este primer tramo repasamos los números reales, ecuaciones y propiedades básicas. Es probable que el lector ya se encuentre familiarizado con estos conceptos, pero es útil ver de nuevo cómo funcionan estas ideas para resolver problemas y modelar (o describir) situaciones prácticas. También se aborda un breve repaso de las desigualdades y del valor absoluto.

MÓDULO 1: NÚMEROS REALES

  • Números Reales

    Bibliografía: Sección 1.1, Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precálculo: Matemáticas para el cálculo. 6ta edición Learning.

    Propiedades de los números reales. Adición y sustracción. Multiplicación y división. La recta de números reales. Conjuntos e intervalos. Valor absoluto y distancia.

  • Exponentes y radicales
    Bibliografía: Sección 1.2, Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precálculo: Matemáticas para el cálculo. 6ta edición Learning.

    Exponentes enteros (negativos y positivos).   Reglas para trabajar con exponentes.
    Radicales. Exponentes racionales.

  • Logaritmo
    Bibliografía: “Manual de Matemática Preuniversitaria”, M. Carena, Ediciones UNL, en prensa.

    Logaritmo. Logaritmo decimal y logaritmo neperiano o natural. Propiedades del logaritmo.

Visualizaciones:

» Video de aplicación de la forma exponencial
» Video de orden en R y signos de relación
» Página web con práctica de exponentes racionales

MÓDULO 2: POLINOMIOS Y EXPRESIONES RACIONALES

  • Polinomios
    Bibliografía : “Manual de Matemática Preuniversitaria”, M. Carena, Ediciones UNL, en prensa.

    Definición de variable y polinomios. Coeficiente principal, término independiente, término lineal, grado. Clasificación según la cantidad de términos. Suma y resta de polinomios. Multiplicación de Polinomios. Fórmulas de productos notables. División de polinomios: Regla de Ruffini. Factorización de polinomios.  Factorización de factores comunes. Fórmulas especiales de factorización. Factorización por agrupación de términos. Teoremas del resto y del factor. Teorema de la raíz racional. Ceros y multiplicidades.

  • Expresiones racionales
    Bibliografía Sección 1.4,  Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precálculo: matemáticas para el cálculo. 6ta edición Learning.

    Dominio de una expresión algebraica. Simplificación de expresiones racionales. Multiplicación y división de expresiones racionales. Suma y resta de expresiones racionales.

Visualizaciones

» Cuadrado de un binomio

» Factorización de un polinomio

MÓDULO 3: ECUACIONES Y DESIGUALDADES

  • Ecuaciones
    Bibliografía: Sección 1.5, Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precálculo: matemáticas para el cálculo. 6ta edición Learning.

    Solución de ecuaciones lineales. Solución de ecuaciones cuadráticas (propiedad de producto cero, solución de una ecuación cuadrática sencilla, la fórmula cuadrática, el discriminante). Aplicaciones: problemas que se resuelven con ecuaciones cuadráticas. Ecuación que contiene expresiones fraccionarias. Ecuación que contiene radical. Ecuación con valor absoluto.

  • Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    Bibliografía: “Manual de Matemática Preuniversitaria”, M. Carena, Ediciones UNL, en prensa.

    Ecuaciones exponenciales. Ecuaciones logarítmicas. Modelado con ecuaciones (Sección 1.6,  Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precálculo: matemáticas para el cálculo. 6ta edición Learning.). Construcción y uso de modelos. Problemas de área o longitud.

  • Desigualdades
    Bibliografía: Sección 1.7, Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precálculo: matemáticas para el cálculo. 6ta edición Learning.

    Resolución de desigualdades lineales. Modelado con desigualdades.

Visualizaciones

» Video de Propiedad Uniforme para resolver ecuaciones

» Video ejemplo:  ecuación exponencial  – resolución 

» Video: Propiedades de logaritmos

» Resolución de un sistema aplicado a vehiculos  y resuelto por sustitución  

     

       

      Software y aplicaciones

      gegogerba1GEOGEBRA

      Programa que se puede descargar en versiones para computadora o para celulares, desde la página oficial de Geogebra

      https://www.geogebra.org/

       

       

      khanKHAN ACADEMY

      Una página para practicar online.

      https://es.khanacademy.org/

       

       

       

      600x600waPHOTOMATH

      Aplicación para  celulares que escanea ecuaciones y las resuelve.

      https://photomath.net/en/

       

       

       

      512x512bbMATHWAY

      Aplicación para algebra, trigonometría,  

      Funciones,  graficadora  

      https://www.mathway.com

       

       

      symbolab-1SYMBOLAB

      Aplicación para algebra, trigonometría,  

      Funciones,  graficadora.

      https://www.symbolab.com[/vc_column_text]

      ACTIVIDADES

      A través de distintas actividades conocerás cómo el lenguaje y los contenidos matemáticos se emplean para comprender situaciones en distintos contextos.

      ACTIVIDAD 1 | EXPRESIONES ALGEBRAICAS

      Las expresiones algebraicas son representaciones del lenguaje matemático simbólico y  modelan situaciones reales de distintos contextos. El trabajo con estas expresiones te resultará más sencillo si piensas en su significado geométrico, como te muestra el ejemplo:

      X                                             X2                                                 X3   

      X representa una medida de longitud (lineal)

      X2  representa el área de un cuadrado  cuyo lado mide X unidades.

      X3 representa el volumen de un cubo cuya arista mide X unidades.

      Pensando en el significado de cada expresión:  ¿Tiene sentido determinar la suma de:  X + X2 +  X3 ?

      ACTIVIDAD 2 | Infografías y Lenguaje matemático

      De todos los lenguajes que se han creado a lo largo de la historia, el matemático, a través de sus expresiones coloquiales, gráficas o simbólicas, es el que cuenta con los significados más precisos para comprender el mundo en el que habitamos.
      Por esta razón es que las ciencias y en general la información que circula día a día por distintos medios, “hablan” en lenguaje matemático para expresar ideas o teorías. Por tal motivo hoy en día se considera que “La matemática es el lenguaje de la ciencia, y la comunicación”

      Actividad
      ¿Podés leer información expresada en lenguaje matemático? ¿Podés reconocer distintos tipos de números reales?

      En nuestras acciones diarias necesitamos de los números: ¿cuántos años tenés?, ¿cuánto cuesta un helado?, ¿cuál es tu número de teléfono?, ¿qué colectivo te tomás? Asimismo se emplean los números para expresar información como la que te presentamos en los siguientes contextos…

      EL VIAJE QUE NOS CAMBIÓ LA VIDA

      I. Leé la siguiente info…

      Neil Armstrong, el astronauta que marcara un logro legendario en la exploración con “un pequeño paso” desde el módulo lunar del Apollo 11 el 20 de julio de 1969, convirtiéndose en la primera persona en caminar sobre la luna, murió el sábado 25 de agosto en la cercanía de Cincinnati. Tenía 82 años. Su familia anunció la muerte a través de un comunicado y la atribuyó a “complicaciones derivadas de procedimientos cardiovasculares”.

      Un ingeniero y piloto de pruebas taciturno que nunca estuvo a gusto con su fama, Armstrong fue uno de los estadounidenses más reverenciado de carrera espacial de la Guerra Fría en la década de los 60. Es famoso por su frase: “Éste es un pequeño paso para un hombre, pero un gran salto para la humanidad”, al pisar la superficie lunar, una cita indeleble transmitida a una audiencia mundial de cientos de millones de persona. “Houston: el águila ha llegado”, dijo el hombre con apellido de trompetista. Y así, como de un plumazo, borro infinidad de fantasías. el viaje a la Luna, que hasta ese momento había sido asunto de enamorados, novelistas y poetas se transformó en el tema preferido de técnicos y científicos. la Luna estaba allí nomás bajo los pies de Neil Armstrong. Ese día el 20 de julio de 1969, quinientos millones de personas observaron en sus televisores la trasmisión de la hazaña más importante del siglo. Se emocionaron con cada saltito de Neil Armstrong y Edwin “Buzz” Aldrin sobre la superficie lunar y cruzaron los dedos para que Michael Collins -que se mantenía orbitando y tenía la responsabilidad de llevar a casa a sus compañeros- hiciera todo bien.

      Infografía png

      Seguramente vos no habías nacido cuando se realizó este viaje. Sin embargo es posible rememorar el evento a través de imágenes de archivo…

      II. Respondé…

      1 | Ahora bien, la infografía brinda información utilizando los lenguajes de la matemática:

      Lenguaje Coloquial

      → Palabras que explican (quinientos millones de personas lo vieron)

      Lenguaje Gráfico

      → utilizando figuras de análisis

      → Gráficos estadísticos

       

      Indicar qué otras informaciones de la nota está expresado sólo en el lenguaje:

          • Coloquial:
          • Gráfico:

      2 | ¿Hay informaciones de la infografía que combinan dos o más lenguajes? Indicá cuáles si es que tu respuesta es afirmativa.

      3 | Pero, fundamentalmente, este viaje está caracterizado por números.

      Te pedimos que busques en toda la información brindada, números que se utilizaron para representar:

          • Cantidades:
          • Un comienzo:
          • El sentido contrario al comienzo establecido:
          • Decimales:
          • Parte de algo:
          • Porcentajes:

      4 | Relacioná cada uno de los ítems del punto 3) con el correspondiente de la siguiente lista…

          • Números naturales o enteros positivos
          • Números negativos
          • Cero
          • Números fraccionarios
          • Números reales

      LA MÚSICA DE LOS NUMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

      El objetivo de la siguiente actividad es reconocer los números racionales e irracionales,  en el contexto  la música.  Asociar la repetición de notas  a  las cifras  periódicas en un racional  y la no repetición de notas a las cifras decimales no periódicas de los irracionales.

      Número PI

      Este número irracional, que pertenece a los números reales y cuyo valor aproximado es  3,1415926535897932384…, aparece en el papiro Rhind hace 4.000 años, época del escriba egipcio Ahmes.

      EL 14 de marzo (3.14 – sistema estadounidense) se celebra mundialmente el Día de Pi. En 1988, el físico Larry Shaw, quien trabajaba en el Museo de Exploración de San Francisco (EEUU) tuvo la ocurrencia de fundar esta celebración. Para celebrar el día del número Pi, el músico David McDonald compuso la siguiente obra musical, donde la melodía representa las cifras del número Pi con una aproximación de 122 cifras decimales.

      Como notarás en el trabajo del músico David McDonald, se asocia cada nota a un dígito y luego se ejecutan siguiendo los dígitos del número elegido, en este caso el Número Pi.

      ¿Te animás a tocar en el piano o cualquier otro instrumento el número racional periódico 3,456456456456…? Y ahora el Número Pi! Para hacerlo te proponemos que emplees instrumentos virtuales, como por ejemplo este simulador de piano virtual.

      Observá la diferencia musical, en cuanto a la repetición de notas, entre un número y otro.

      Uno de los números irracionales más conocidos, representa la relación entre una circunferencia y su diámetro.  En toda circunferencia la medida de su longitud es π veces la medida de su diámetro.

      Además de Pi, hay otro número muy interesante, también irracional, llamado Número Fi o Número de oro.

      Está presente de diferentes maneras en la naturaleza, la arquitectura, el diseño gráfico y de objetos, obras de artistas plásticos, construcciones antiguas como las pirámides y templos, en nuestro cuerpo y en el de algunos animales. Todas las construcciones basadas en mediciones donde se involucra al Número de oro se denominan construcciones con proporciones áureas o armónicas. Muchos productos actuales están construidos con las proporciones áureas, como las tarjetas de crédito o la SUBE.

      Te lo presentamos…

      Te proponemos los siguientes videos para que lo conozcas un poco más. El primero es el Número de oro presentado por el Pato Donald, una animación de Disney creada con fines didácticos para una población muy específica. El segundo es una simulación del desarrollo del Número de oro, desde su construcción numérica hasta su materialización en objetos de la naturaleza y nuestro contexto.

      ACTIVIDAD 3 | OPERACIONES CON NÚMEROS EN DISTINTOS CONTEXTOS

      En distintas situaciones necesitamos operar con números. ¿Cuánto me saldrían tres pasajes de colectivo? ¿Cuántos Km faltan para llegar a Santa Fe? ¿Cuánto dinero tengo que pagar, si entre tres amigos compramos una pizza y una gaseosa? Para simplificar y hacer más rápido los cálculos, en cada una de las operaciones podemos usar propiedades de dichas operaciones como la propiedad conmutativa, distributiva o elemento neutro, entre otras, como se muestra en el siguiente ejemplo:

      Para calcular  83 + 77  podemos usar propiedades y resolverla de una manera más rápida:

      83 + 77 = 80 + 3 + 70 + 7 = (80 + 70) + (3 + 7) = 150 + 10 = 160

      En otro ejemplo, para resolver 133 : 5 podemos utilizar propiedades y realizar lo siguiente:

      133 : 5 = (133 . 2) : 10 = 266 : 10 = 26,6

      Vemos que es más sencillo el cálculo, ya que es mucho más fácil buscar el doble y luego dividir por 10.

      En este orden de razonamientos que venimos haciendo, te proponemos a continuación que realices las siguientes actividades, inscriptas en distintos contextos.

      LOS MENSAJES SECRETOS Y LA CRIPTOGRAFÍA

      En la actualidad son frecuentes las comunicaciones a través de medios digitales, desde las conversaciones por redes sociales hasta las transacciones comerciales efectuadas tanto al comprar un producto por Internet (que requiere introducir datos privados como el número de una tarjeta de crédito), o realizar operaciones bancarias. Ante esta situación nos preguntamos ¿es seguro introducir información privada en medios digitales?

      La Criptografía es la ciencia que se encarga de diseñar métodos para mantener la confidencialidad de los datos y otorgar seguridad a la información que es enviada por un medio aparentemente inseguro. Para esto la criptografía emplea algoritmos de cifrado o encriptado con una clave que permite que el emisor de un mensaje pueda estar seguro que éste sea confidencial, y sólo el receptor autorizado pueda saber el contenido aplicando un proceso de método de descifrado o desencriptado con su respectiva clave.

      Al realizar la siguiente actividad aprenderás a encriptar (ocultar) y desencriptar mensajes a través de operaciones numéricas. Es fundamental que sepas realizar operaciones con números reales para poder realizar la actividad.

      I. Para comenzar a tener un panorama más amplio sobre la criptografía, te recomendamos que mires el siguiente video.

      II. Comprobá tu comprensión sobre la información del video, realizando un encriptado y desencriptado de mensajes mediante la siguiente simulación que aporta este enlace:

      Ir al simulador de encriptación

      III. Para concluir, ocultaremos y descubriremos mensajes secretos realizando operaciones numéricas.

      Abrir archivo

      EL MUNDO DE LA MAGIA

      Un mago en un show, dice que puede predecir una suma entre cinco números naturales de cinco cifras porque es vidente y sabe los números que vendrán apenas un participante del show escriba el primer número.

      Pasa un participante y escribe tres de los números que intervienen en la suma y el mago dos.  Y el mago adivinó!  ¿Cómo puede ser esto?

      Obviamente es un truco matemático!  Mirá el siguiente video que te lo explica y luego intentá hacer el mismo truco a otra persona.

      ¿Y SI GANAMOS EL QUINI 6?

      Analicemos por qué una persona no juega todas las posibilidades del Quini 6 para poder ganar sí o sí.

      ACTIVIDAD 4

      ¿Qué matemática comparten los terremotos, las discotecas, el pH y las estrellas? Encontrarás la respuesta analizando la información que aporta el siguiente video.

      ACTIVIDAD 5

      Te proponemos que mires el siguiente video para ampliar información

      Actividad 6

      Realizá la actividad propuesta en la siguiente simulación de Geogebra

      Actividad 7

      ¿Es cierto que  (a+b) 2 = a2 + b2     y   (a+b) 3 = a3 + b3 ?

      Analizando los siguientes videos encontrarás la respuesta

      Actividad 8

      Jugar y aprender. Ingresá a la siguiente propuesta para realizar en el entorno Geogebra

      Actividad 9

      Fortalecé tu comprensión  analizando los conceptos y resolviendo las actividades propuestas en KHANACADEMY

      En el Curso de Articulación disciplinar se trabajará en base a dos materiales bibliográficos:

          • Precálculo: Matemáticas para el cálculo. 6ta edición Learning. De Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012).  
          • “Manual de Matemática Preuniversitaria”, M. Carena, Ediciones UNL.