EJE 3

Funciones

Es usual encontrar información presentada en forma de gráficos. Ellos nos muestran relaciones entre distintas variables, como por ejemplo: la recaudación impositiva durante los meses de un año, la esperanza de vida de un país, el crecimiento de una población de bacterias en un determinado período, entre otras.

Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por ejemplo, Economía y Física. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y costos de empresas, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la experimentación.

También en ciencias como la Biología, Química y Economía se estudian magnitudes que tienen un porcentaje fijo de crecimiento o decrecimiento cada cierto período. Estas situaciones se modelizan a través de funciones exponenciales junto a su inversa, la función logarítmica.

MÓDULO 6: FUNCIONES Y GRÁFICAS. FUNCIONES CUADRÁTICAS

  • ¿Qué es una función?
    Bibliografía: Sección 2.1, Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precálculo: matemáticas para el cálculo. 6ta edición Learning.

    Funciones a nuestro alrededor. Definición de función. Evaluación de una función. Dominio de una función. Cuatro formas de representar una función.

  • Información a partir de la gráfica de una función.
    Bibliografía: Sección 2.3, Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precálculo: matemáticas para el cálculo. 6ta edición Learning.

    Valores de una función: dominio y rango. Funciones creciente y decreciente. Valores máximo y mínimo locales de una función.

  • Función cuadrática
    Bibliografía: “Manual de Matemática Preuniversitaria”, M. Carena, Ediciones UNL, en prensa.

    Definición de función cuadrática. Forma general. Coeficiente principal o cuadrático, coeficiente lineal. Forma factorizada de una función cuadrática. Obtención de la abscisa  y ordenada del vértice. Valores máximo y mínimo de funciones cuadráticas. Modelado con funciones cuadráticas.

Visionado:

» Definición de funciones

FUNCIONES

En casi todos los fenómenos de la vida cotidiana, de la naturaleza o de las ciencias, aparecen cantidades variables que se relacionan o que dependen de otras.

En la imagen observamos un auto y una bicicleta que transitan por una calle. Ante esta situación podemos preguntarnos, por ejemplo, cómo varía la velocidad de cada uno a medida que transcurre el tiempo, qué distancia recorrerán en determinado intervalo de tiempo, cuánto tiempo debe transcurrir para que el auto pase a la bicicleta. En todas estas alternativas se relacionan distintas variables: distancia recorrida, velocidad, tiempo.

La necesidad de determinar con precisión cómo las variables dependen unas de otras, es lo que lleva al estudio de las funciones. El concepto de función es uno de los más importantes de la matemática por su importancia para la modelación del mundo real.

A continuación te proponemos una serie de actividades en diferentes contextos. Su análisis te permitirá revisar la noción de función, algunas de sus características principales y la manera en que los modelos funcionales pueden ayudarnos a obtener información acerca de la situación o fenómeno que se está modelando.

Te sugerimos que descargues y utilices la aplicación Matematics en tu celular. “El empleo de esta aplicación favorece el uso e interpretación del lenguaje matemático y la comprensión de conceptos”. Aplicación de celular → Matematics

actividades

Con la finalidad de optimizar la utilización de recursos, una empresa de tanques de almacenamiento de agua quiere analizar cómo se modifica la altura del llenado cuando cambia la forma del tanque. La empresa ha realizado experimentos y recolectado datos pero no ha podido comprender cómo la información obtenida explica la modificación del llenado de los tanques.

Analizá la aplicación de Geogebra y resolvé las actividades propuestas. Luego comentá con tus compañeros y tutor los aspectos que debe tener en cuenta la empresa en la fabricación de los tanques para almacenamiento.

Actividad

I. Modelación del llenado de recipientes con distintas formas

En la ventana superior de la aplicación de Geogebra se puede visualizar cómo varía la altura del líquido en dos recipientes a medida que se llenan. Teniendo en cuenta la situación presentada, analizá y respondé:

a) ¿Cuáles son las variables involucradas en la situación planteada? ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente?

b) A medida que el tiempo transcurre, ¿cómo cambia el nivel de agua en cada recipiente? Explicá.

c) ¿Es posible encontrar un modelo matemático que describa cómo cambia el nivel del líquido en cada recipiente a medida que se va llenando?

d) Cada recipiente tiene una capacidad de llenado. ¿Cómo influye en las gráficas propuestas este aspecto?

 

Modifiquemos las variables del experimento…

II. Llenado de recipientes de diferentes diámetros con forma cilíndrica

En la ventana superior de la aplicación de Geogebra, cambiá el área de la base del cilindro y volvé a simular el llenado del recipiente. ¿Qué coincidencias y qué diferencias tienen las representaciones gráficas en cada caso?

 

III. Distintos niveles iniciales de líquido

En la ventana inferior de la aplicación de Geogebra, se simula el llenado de los recipientes modificando el nivel inicial del segundo recipiente. ¿Qué observás en las representaciones gráficas? Repetí la simulación para distintas áreas de la base de los cilindros, ¿qué sucede?

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Actividad 1

I. Un tanque cilíndrico vacío de 200 litros de capacidad se usa como depósito de agua. Una canilla ubicada en la parte superior comienza a bombear agua al depósito con una
rapidez constante de 10 litros por minuto.

a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente?

b) A medida que el tiempo transcurre, ¿cómo cambia el nivel de agua en el depósito? Explicá.

c) Escribí un modelo matemático y luego realizá un gráfico que permita describir la relación existente entre el nivel del agua y el tiempo transcurrido.

d) ¿En cuánto tiempo la altura del agua estará a la mitad de la capacidad del tanque?

II. Analizá las preguntas anteriores considerando que inicialmente el tanque contiene 30 litros de agua.

III. ¿Para cuál o cuáles de los siguientes recipientes el llenado se puede modelar con una función como la de los incisos anteriores? Explicá tu elección.

 

Actividad 2

En una práctica de laboratorio se realizó el llenado de algunos recipientes con agua. Una llave controla el flujo del agua desde un depósito, por lo que siempre se tiene la misma cantidad de agua cayendo al recipiente. Teniendo en cuenta que los recipientes tienen base plana, realizá la gráfica de la altura en función del tiempo que modela el fenómeno en cada caso.

Actividad 3

I. Suponiendo que la rapidez de entrada de agua al depósito es de 6 litros por minuto y la de salida es de 4 litros por minuto.

a) ¿Cuál es la razón de cambio de la cantidad de agua en el depósito con respecto al tiempo?

b) Llamando V a la cantidad de agua en el depósito (en litros) y t al tiempo (en minutos), completa la siguiente tabla con los valores de V correspondientes a los valores de t dados.

 

c) Expresá V en función de t.

d) Si el depósito tiene una capacidad para 40 litros. ¿Cuántos minutos deben transcurrir para que se llene?

e) Representá en un sistema de coordenadas cartesianas, la gráfica de V con respecto a t.

 

II. Suponiendo que la rapidez de entrada de agua al depósito es de 4 litros por minuto y la de salida es de 6 litros por minuto.

a) ¿Cuál es la razón de cambio de la cantidad de agua en el depósito con respecto al tiempo?

b) Llamando V a la cantidad de agua en el depósito (en litros) y t al tiempo (en minutos), completá la tabla con los valores de V correspondientes a los valores de t dados.

 

c) Expresá V en función de t.

d)¿Cuántos minutos deben transcurrir para que el depósito se vacíe por completo?

e) Representa en un sistema de coordenadas cartesianas, la gráfica de V con respecto a t.

Actividad 4

Considerá los tanques que se muestran en la figura.

A través de las canillas abiertas, el agua entra al tanque A a razón constante de 4 litros por minuto y sale del tanque B a razón contante de 6 litros por minuto. Inicialmente, t = 0, el tanque A contiene 10 litros de agua mientras que el tanque B contiene 120 litros.

a) Determiná la expresión algebraica que expresa la cantidad de agua V en el tanque A en función del tiempo t.

b) Determiná la expresión algebraica que expresa la cantidad de agua V en el tanque B en función del tiempo t.

c) Encontrá cuántos minutos deben transcurrir para que los dos tanques contengan la misma cantidad de agua. Calculá cuántos litros de agua tienen los tanques en ese momento.

d) Si el tanque A tiene una capacidad para 150 litros. ¿Cuántos minutos deben trasncurrir para que se llene?

e) ¿En qué momento se vacía por completo el tanque B?

f) Representá en un mismo sistema de coordenadas cartesianas, la gráfica de V con respecto a t, para ambos tanques.

El término “contaminación acústica” hace referencia al ruido (entendido como sonido excesivo y molesto), provocado por las actividades humanas (tráfico, industrias, locales de ocio, aviones, etc.), que produce efectos negativos sobre la salud auditiva, física y mental de los seres vivos. En este contexto, la noticia en los diarios es:

Leé y comentá el artículo de La Nación. Investigá sobre las unidades que se utilizan para medir el nivel de ruido. Luego resolvé la actividad propuesta.

Actividad

La siguiente gráfica expresa el nivel de ruido que se produce en un cruce de grandes avenidas de una ciudad medido en belios (decibelesx10)

a) Interpretá, respondé y justificá:

a1) ¿La gráfica dada representa una función?

a2) ¿Cuándo crece el nivel de ruido? Suponé y enunciá causas que provoquen este crecimiento.

a3) Sabiendo que los niveles que establece la ley de Control de la contaminación acústica, en coincidencia con el máximo tolerable para la Organización Mundial de la Salud, es de 80 db, ¿en algún momento del día no se cumplió con esta ley? Justificá.

a4) ¿Esta función posee ceros? Argumentá tu respuesta en el contexto del problema.

 

b) Justificá si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:

b1) El valor máximo de la función es y = 9.

b2) En el intervalo (13; 16) la función es negativa.

b3) Se registraron 10 decibeles solamente en la hora cero.

Link Sugeridos para “Hacer matematica” mediante herramientas digitales

Terminamos jugando...

Juego con Funciones lineales

Este juego promueve el aprendizaje de la función lineal, fundamentalmente en lo que refiere a su gráfica e interpretación de sus parámetros: ordenada al origen y pendiente.