En el marco del "Coloquio del Departamento de Matemática" de la Facultad de Ingeniería Química de la UNL, se llevará a cabo la charla: El teorema de extensión de Fourier para el paraboloide. Será el 26 de marzo a las 13h, bajo modalidad híbrida, en el Aula 10 de la FIQ y por plataforma Zoom.

• Resumen

La conjetura de extensión/restricción de la transformada de Fourier fue formulada por Elías Stein hacia fines de los años 60. Esta conjetura fue probada en dos dimensiones para el círculo unitario por L.Carleson y P. Sjolin (1972). La conjetura tiene implicaciones para el problema de Kakeya y también está íntimamente conectada con la conjetura de Bochner-Riesz . En tres y más dimensiones ha habido en las últimas cinco décadas muchos resultados parciales sobre estos problemas por varios autores incluyendo J. Bennet, J. Bourgain, A. Cardeby, A. Córdoba, C. Fefferman, L. Guth, N. Katz, P. Mattila, T. Tao, P. Tomas, M. Urciuolo, A. Vargas, L. Vega, T.Wolff, y otros. La conjetura de extensión de Fourier en toda su generalidad ha seguido abierta en tres y más dimensiones hasta ahora.

Recientemente hemos establecido el teorema de extensión de Fourier para el paraboloide en toda dimensión d>2. En esta charla discutiremos los elementos principales de la demostración. Nosotros empezamos utilizando varias técnicas muy conocidas en este ámbito que reducen la conjetura de un problema global a estimaciones locales y con mejores exponentes. Para finalmente resolver esta conjetura hemos tenido que complementar estos previos avances con técnicas de estimaciones para dos pesos. Estas ideas fundamentales has sido propuestas por el segundo autor, e incluyen su creación de un marco de wavelets suaves que cancelan un número arbitrario de momentos. El uso de estas "smooth Alpert" waveles, combinada con otras ideas previas, nos permitió reducir la conjetura no sólo a localizaciones en fase, pero también en frecuencia.

Otras ideas innovadoras han sido esenciales para finalizar nuestra demostración, incluyendo una aplicación de la transformada de Fourier discreta, promediar sobre grillas diádicas, y una extensión de los teoremas de "fase estacionaria" de Stein para incluir factores periódicos.

Si el tiempo lo permite, también discutiremos la generalización de este teorema a superficies curvadas
generales, y la posible resolución de la conjetura de Bochner-Riesz.

• Sobre el expositor:

Cristian Rios es oriundo de Santa Fe de la Vera Cruz, provincia de Santa Fe, Argentina. Después de recibirse de técnico electromecánico en la Escuela Industrial Superior en el año 1988, entró por la puerta opueta de la misma cuadra a la carrera de Licenciado en Matemática Aplicada en la Facultad de Ingeniería Química, título que adquirió en 1993. Se graduó con un doctorado en matemáticas en la Universidad de Minnesota en el 2001. Sus intereses de investigación se concentran en applicaciones de análisis armónico a ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones con elipticidad degenerada, problemas con pesos, y más recientemente problemas de restricción/extensión de Fourier. Desde el 2006, es profesor asociado en la Universidad de Calgary, en la provincia de Alberta, Canadá, donde también cumple la función de Jefe Asociado de Investigación en el departamento de matemáticas y estadísticas. 

• Participación

La actividad es libre y gratuita, y se desarrollará el 26 de marzo a las 13h, en el Aula 10 de FIQ-UNL. Para acceder a la reunión de Zoom es aquí, o a través de los siguientes datos:

 ID de reunión: 874 9000 2015
Código de acceso: 829720